【解説】有意水準が 5%の理由とその「感覚」

本章では,統計の世界で非常に重視される p=0.05 という〈線引き〉がいかに微妙な、、、ものであるかについて述べます。

本章で扱う内容

  • 有意水準 5 % の「理由」:特にない。感覚的,慣例的に決められた。
  • 有意水準 5 % の「感覚」:実力が互角のチームが 50 戦したとき,32 勝 18 敗まではありうる。33 勝 17 敗からはあり得ない。

確率の解釈

確率の解釈というのは,どうしても観念的なものになってしまいます。

たとえば私たちは普段,5%という確率についてどう考えているでしょうか。

状況次第で確率の価値は変わる

同じ 5% という確率でも,受け取る人や状況によっては,大きく感じることもありますし,小さく感じることもあるでしょう。

確率それ自体が絶対的な数値として得られても,それを解釈する人の思考は相対的なものです。

この原発が事故を起こす確率は,5%です!

そう言われて,「わずか 5%なら 安全だね!」と感じる人は稀でしょう。

しかし

この抗癌剤が癌を根治する確率は,5%です!

と言われると「効くかもしれないならトライしてもいいかな」という人が出てきます。

このように,確率というのは状況(起きる現象のインパクト)や解釈する人次第で相対的に価値が変わる概念です。

|期待値が重要
この点に関しては,詰まるところ「期待値計算が重要である」と言い換えることができるかもしれません。確率が低くても,影響が大きいとき,「確率」×「影響の大きさ」=「期待値」は無視できない数字となるからです。

統計の世界で絶対視されがちな「5%」という確率

しかし,この「5%」という確率は,統計学の世界では非常に重要な判断基準とされています。

まるで【絶対的な1つの線引き】であるかのような振る舞いです。

p 値という確率が,5% を超えるかどうかだけで,【統計的に有意】か,そうでないか,という非常に重要な決断が行われるのです。

果たしてそのような判断は妥当なのでしょうか。そもそも,私たちの感覚、、に合致した基準と言えるのでしょうか。

その点について実際に計算を交えながら考えてみたいと思います。

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その線引きは妥当なのか?

例えば私たちは,以下のような状況について,どのような判断を行うでしょうか?

  • コインを 5 回連続で投げた時,5 回連続でオモテまたはウラが続いた。
    このとき私たちは「イカサマ」を疑うか?
  • ある2つの野球チームが 15 回連続で試合をした時,戦績は10勝5敗だった。
    このとき,2チームの実力には「差がある」と言えるか?

本項ではこうした確率の解釈,そして統計学における「5%」という線引きの意味について考えてみたいと思います。

そのコインはイカサマか?

Cointoss

私たちは感覚的に、、、、,コイントスが何回連続オモテになったら,イカサマを疑うでしょうか?

4回連続オモテだったら?
5回連続オモテだったら?
6回連続オモテだったら?

あるいは10回連続オモテだったら? ……これはさすがに怪しいですね。

私たちは実際どのラインで,「これはイカサマだ!八百長だ!」と叫び始めるでしょうか。

あるいは「このコインはイカサマだ!」ということを論理的に証明するには,どうしたらいいでしょうか。

イカサマコインの証明

順を追って考えてみましょう。

まず,いま私たちが疑っているのは,「コインがイカサマである」という仮説です。

つまりこれが検証すべき仮説ということになります。

しかし,直接的に、、、、コインがイカサマであることを証明するのはなかなか難しいものです。

感覚的には、、、、、,6回,7回,あるいは10回連続でオモテの面が出るような状況はあり得ないと感じる人が多いと思います。

とはいえ明確な線引きがない以上,どこから「イカサマだ!」と突っかかって良いのか,直接的手法ではなかなか示せません。

そこで,逆に考えます。

本当に公平なコインなら,そのように連続オモテとなる確率は,どの程度低いのか?

と考えるのです。

つまり,

コインがイカサマでないなら,こんなにも連続でオモテ(またはウラ)が続くはずはない!なぜなら,そんなことが起きる確率は XX % しかないからだ!

というように,背理法的な証明を試みます。

帰無仮説と対立仮説

ここで,「コインがイカサマでないならば」の部分を帰無仮説(H0)と呼び,検証したい「コインはイカサマだ!」という仮説を対立仮説(HA)と呼びます。

  • 帰無仮説 H0:「コインはイカサマではない = 表裏の確率は 50 %」
  • 対立仮説 HA:「コインがイカサマである」

この時重要なのは,

コインがイカサマでない(=帰無仮説が正しい)にもかかわらず,連続でオモテまたはウラが続く可能性も,確率的にはあり得る

ということです。

そのような確率を実際に計算してみると,以下になります(▼)。

コインがイカサマでない(帰無仮説が正しい)とき

  • 「2回投げて,2連続オモテ または 2連続ウラ」は 50 %
  • 「3回投げて,3連続オモテ または 3連続ウラ」は 25 %
  • 「4回投げて,4連続オモテ または 4連続ウラ」は 12.5 %
  • 「5回投げて,5連続オモテ または 5連続ウラ」は 6.25%
  • 「6回投げて,6連続オモテ または 6連続ウラ」は 3.125%

5回連続で同じ面,はイカサマか?

「5回連続オモテまたはウラ」は,感覚的には、、、、、 滅多に起きないような気もしますが,こうして計算してみると6.25 % で起こりうるようです。

「5回コインを連続で投げる」という試行を100回繰り返せば,6回くらいは起きうる現象だということですね。

このとき「5%」という値で線引きをすると,これでは「有意」となりません。

つまりこの現象は偶然でも起こり得る(=統計的に有意ではない)とみなすことになり,帰無仮説は棄却されません。

公平なコイントスであっても,まあ 5回連続同じ面が続くことくらい,たまにはあるだろう。実際,同じ試行を100回繰り返したら,6回くらいはあるわけだし(p=0.0625)。

そういう結論に落ち着くわけです。

これがもし賭け事の世界だった時,私たちが「イカサマだ!」とディーラーに断定口調で詰め寄っても,「いやいやお客さん困りますよ,確率的に20回に1回以上は,こういうこともあるんですから〜〜」といなされてしまいます。

6 回連続で同じ面,はイカサマか?

では「6 回連続オモテまたはウラ」という状況はどうでしょうか。

これは先ほど計算した通り,コインにイカサマがない状況でも 3.125 % の確率で起きうる現象です。

しかしこのとき,5 % という〈水準〉をもとに考えますと,その値を下回っていますので,偶然では起こり得ない(=統計的に有意である)とみなすことになります。

つまり,帰無仮説は棄却され,コインにイカサマがあると考えることになります。

またこれが賭け事の場合,今度こそイカサマだ!と私たちはディーラーをなじることができるでしょうか。できるかもしれませんが,結局は「いやいやお客さん困りますよぉ,確率的に大体 30回に1回くらいは,こういうこともあるんですからぁ〜〜」といなされてしまうかもしれません。この時ディーラーは,私たちと同じ有意水準 5 % では考えていないわけです。こうなるとまあ,結局泣き寝入りするしかありません。

どこからがイカサマか?

ここまでの確率を元にした推計をまとめると,以下のようになります。

コインにイカサマがないとき,5回連続は「ありうる」が,6回連続は「おかしい」
── 有意水準 5% の場合

この判断基準は,私たちの感覚と合致しているでしょうか?

この問題は少し心の片隅に置いておいて,そもそもなぜ「5%」なのか?ということについてもう少し掘り下げていきたいと思います。

推測統計で重要な「5%」という確率

Dice throw

実はここまでみてきた「コインはイカサマか?」という命題に対する仮説検証の手順は,新薬のエビデンス創出などにも通ずるものがあります

この新薬Aは従来薬Bよりも効く!

この新しい広告Aは従来型の広告Bよりも売り上げを上げる!

そうしたことを勝手に一人で主張していてもエビデンスにはなりませんが,客観的なデータを示すことができれば,それはエビデンスとなります。

では,そうしたエビデンスはどのように生み出されるか?

新薬は,従来薬と比べて本当に、、、「効く」のか?

新しい広告は,古い広告よりも本当に、、、「売り上げを上げる」のか?

そうした仮説検証も,「このコインはイカサマか?」について検証した手順と同様のやり方で検証していくことになります。

推測統計の手順

私たちが,

この介入(新しい薬,新しい広告,etc.. )には本当に効果があるのか?

ということを調べたいとき,直接的に母集団(=古今東西のあらゆる対象者)を調べ尽くすことができるのであれば,【真実】はたちどころに明白となります。

しかし,そうした大規模調査には膨大なコストがかかってしまうため,現実的にはほとんど不可能です。

そこで,

  1. 低コストでアクセスできる手ごろな標本(対象者)を 一定人数抽出してきて
  2. その標本の中での効果を検証し,
  3. その結果から母集団でも効果があるのか推定する

Infer stats

という手続き(=推測統計)を行うのでした。

この推測統計の世界観では,

p値:
本当は(母集団では)効果のない介入なのに,取り出してきた標本の “ランダム性” のみによって,手元の(一見効果がありそうな)データが得られる確率

というものを算出します。

そして,その p 値が十分低いとみなせる時に,

そんな偶然は滅多に起きないんだから,さすがに ”標本のランダム性” のみでは説明できない!前提条件(=本当は効果がない)の部分がおかしいんだ!

きっと本当に(母集団でも)差があるぞ!

と背理法的な手法で推論するのでした。

これはまさに,先ほどのコインのイカサマの話と同じ流れです。

合わせて読みたい

〈統計学的に有意な差〉とは?今やどんな研究論文でも,あるいはビジネスシーンでも,必ず目にする〈統計学的に有意〉 significant という言葉。「統計学的に有意」ってどういう意味?と人に聞かれた時,皆様はその意味を[…]

なぜ 5% なのか?

さてこの時,「得られたp値が十分低いとみなせるかどうか」という線引き・閾値のことを 〈有意水準〉significance level と呼び,その確率を α と設定します。

そして,この有意水準 α として最もよく使われるのが,5%という数字です。

これは完全に慣例的なものであって,何か科学的な根拠があるものではない,とされています。

これには有名な小噺があります。

ASA(アメリカ統計学会)のポータルで,ある学生が

Q:なぜ 5% で線引きをするんですか?

と尋ねたところ,その問いに対する答えは結局

A:それは大学でそう教えているからです

となったくらいだと言います。

これはさすがに誇張的なエピソードかもしれませんが,ともかく 5% とは,そのように慣例的な線引きに過ぎません。

しかし,結局私たちはその「慣例」に従って,5%という水準を境にして重大な決断を迫られることになります。

|補足:最初はフィッシャー?
5% が有意水準として使われ始めた最初のルーツとしては,現代統計の父と言われるフィッシャーが「5%の判断が “便利だ” 」と言ったから,という説もあるそうです。

5 %を切れば結果は「有意」に

有意水準 5%のとき

  • p値が 5% 以下となるデータでは「そんなことはあり得ないので前提がやっぱりおかしい」とバッサリ切り捨てる(=帰無仮説を棄却)。
  • p値が5%を超えるのであれば「そんなこともあるかもね」と結論する(=帰無仮説を棄却できない)。

私たちはこのように,p値がある値(有意水準)を超えるか超えないか,というただその1点のみにおいて,結果が「有意」か「有意でない」かを判定します。

しかし推測統計を行う際,

母集団そのものを調査していないため,どこまで行っても【真実】は不明

です。

にもかかわらず〈有意水準〉などという慣例的な基準だけを頼りにして,「本当に母集団でも効果があるのか?」という推論に対し二者択一の答えを出さなければならないのです。

母集団でも効果があると言えるかどうか(=統計学的有意であるかどうか),というのは非常に両極端な結論です。しかし,必ずその「どちらか」の結論にしなければならないのです。

これが現在の〈推測統計〉の世界観であり,限界でもあります。

そしてその〈水準〉として最も多用されるものが「5%」である以上,私たちはもっとこの「5%」という数字に明るくなっておく必要があると言えます。

以下では実際のシチュエーションを考えながら,5%という確率の意味について考えてみたいと思います。

「5%」ってどの程度の確率?

さて,このように統計学の世界でも非常に重要なポイントとなる「5%」という確率ですが,これは本当に私たちが「十分低い」と思える確率なのでしょうか?

一応,慣例的に「5% は十分低い確率である」というコンセンサスになっているからこそ,医学にしろ何にしろ,統計的に有意ととるかとらないかの水準は5%になっているわけです。

しかし,実際 5%というのは,どの程度の数字感覚・肌感覚のものなのでしょう?

先ほどのイカサマコインの例では,有意水準 α = 0.05 とする場合,

  • 5回連続で同じ面になる(p=0.063)ことはあり得る
    ┗▶︎ 帰無仮説を棄却できない
  • 6回連続で同じ面ということ(p=0.031)は,さすがにない
    ┗▶︎ 帰無仮説を棄却する

という結論になるのでした。

もう少し別のケースを考えてみましょう。

阪神・巨人の実力は五分五分か?

B ball

あるシーズンのプロ野球で,阪神と巨人が 15回試合をした時のことを考えます。

この時,私たちは感覚的に、、、、,どちらが何勝したら「こりゃ明らかに実力差があるな」と感じるでしょうか?

帰無仮説と対立仮説

今ここで検証したいのは「阪神と巨人の実力には差がある」という仮説です。

コイントスの時と同様,「実力差がある」ことを直接的に証明するのはなかなか難しいので,

「実力差がない」ならこんな戦績にはならないんじゃないのか?

という背理法的な証明を試みます。

つまり「実力に差がない」というのが帰無仮説(H0)で,「実力に差がある」というのが検証したい対立仮説(HA)です(▼)。

  • 対立仮説 HA:「阪神と巨人の実力には差がある」
  • 帰無仮説 H0:「阪神と巨人の実力は五分五分である = 勝率 50 %である」

実際の計算の例

一応,確認のため実際に阪神が 4 勝する確率について計算してみましょう。

実力が五分五分という条件であれば,勝率は 1/2 であるはずですから,阪神が4勝する確率の求め方は

$$\text{(15戦4勝の確率)} =\frac{{}_{15}C_{4}}{2^{15}} $$

となります。

高校数学範囲のため詳細な解説は省きますが,15C4 というのは,15回の試合のうち,どの4回で勝利するか,という組み合わせの数です。

実際の確率分布は?

さて,このように「勝利数がいくつになるか?」という確率を算出し続け,その確率分布をグラフにまとめると,以下(▼)のようになります。

15binomial


帰無仮説が正しいという前提で算出した確率分布 = 帰無分布と呼びます。

実力が五分五分なので,当然,15 戦 7 勝や 8 勝という状況が一番起きやすくなっています(19.6 % + 19.6 %)。そこから離れて極端な戦績になればなるほど,確率が小さくなっていくことが一目でわかります。

本当に実力が五分五分なら,0勝(0.003 %)や15勝(0.003 %)ということは,1000回 やっても 6回くらいしか起き得ないということです。

〈線引き〉はどこから?

さて,では実際に私たちは「どの程度の戦績」から,

実力が五分五分ならこんな戦績はあり得ない!

と考えはじめるでしょうか。実際の確率を計算してみて,感覚と照らし合わせてみましょう。

例えば,阪神が4勝以下しかできなかったとします。これは,両チームの実力が五分五分だった場合,どの程度の確率で起きうる現象でしょうか?

阪神が 4 勝以下となる確率は?

実力が五分五分という前提において,阪神の戦績が 15 戦 4 勝「以下」となる確率について求めてみましょう。

計算は単純で,4勝・3勝・2勝・1勝・0勝の確率を求め,その総和を算出すればOKです。それで「15戦4勝以下」という戦績になる確率が算出できます(▼)。

$$\begin{split}\text{(15戦4勝以下の確率)} =&\frac{{}_{15}C_{4}}{2^{15}} +\frac{{}_{15} C_{3}}{2^{15}} \\
&\quad+…+\frac{{}_{15} C_{0}}{2^{15}} = 0.059 \end{split}$$

この確率は,5.9 % です。

全体の戦績が「4 勝 11 敗」より極端になる確率は?

ここで巨人が強いか阪神が強いかはともかくとして,「4勝11敗」という最終戦績よりも極端な戦績で終わる確率はいくつでしょうか。

先ほどお示ししたグラフからわかる様に,戦績の確率分布は左右対称性で,

(15戦4勝以下の確率)=(15戦11勝以上の確率)

となっています。そこで

(4勝以下または11勝以上の確率)=(4勝以下の確率)× 2 = 0.119

と算出できます。

要するに,どちらが強いかはさておき「11勝 4敗」という戦績で終わる確率は約 12 % と計算できました。

実力が本当に五分五分のチームが対戦したとしても, 12 %ほどの確率で,「11 勝 4 敗」という極端な戦績になりうる,ということです。

同様に,戦績が「12 勝 3 敗」以上に極端となる確率についても,以下のように算出できます(▼;途中式割愛)

(15戦中 3勝以下または12勝以上の確率) = 0.035 = 3.5 %

計算結果まとめ

以上をまとめますと,

両チームに実力差がない(=勝率 50% )という前提では

  • 「阪神の勝ちが 4 回以下または 11 回以上となる確率」p=0.119(11.9%)
  • 「阪神の勝ちが 3 回以下または 12 回以上となる確率」 p=0.035 (3.5%)
言い換えると

  • 「4勝11敗」は実力が五分五分でも 11.9 % の確率で起こり得る
  • 「3勝12敗」は実力が五分五分でも 3.5 % の確率で起こり得る

ということです。

どこからが「有意」な勝利差か?

さて,ここでまた,5%という線引き(有意水準 α)を用いてこれらの数字を解釈してみましょう。

そうすると,

「4勝11敗」は実力が五分五分でも起こりうるが,「3勝12敗」となるのは非常にまれ(5%未満)であり,実力が五分五分という前提は間違っていると考えられる

つまり

「4勝11敗」は “有意” な勝利差ではないが
「3勝12敗」は “有意” な勝利差である

とみなすことになります。

有意水準を 5% と取るということは,このような感覚で p値を判定する,ということです。

実力が五分五分のチームなら,4勝11敗まではありうるかもしれないが,さすがに3勝12敗ということはないだろう。

いかがでしょうか。
この感覚は,私たちの感覚に近いものでしょうか?

5勝10 敗は 30% もありうる

ちなみに同様の手順で「15戦:5勝10敗」という戦績になる確率を求めると,実は30%もあります(p=0.30)。

これはつまり

実力が五分五分でも,15 戦 5 勝 10 敗という戦績に 30% でなりうる

ということです。

なんとなくリアルな世界観では信じがたいと言いますか,それだけの戦績がつくのであればさすがに実力差は明白だろうと言ってしまいたくなりますよね。

しかし統計学的には,15回試合を行って5勝10敗でも,「実力差がある!」と断言することはできないのです。

それは ランダム性によるバラツキ を見ただけかもしれないからです。

あと5回やったら,負けていた側が5連勝して,10勝10敗に追い上げるかもしれません。統計の世界では,もっと明白な差がつくまで,その可能性を棄却してはいけないのです。

このあたりの数字感覚は絶妙なところですね。

しかし統計的にどうであろうが,実際の勝負ごとの世界では「その時に」結果を出せるかどうかが全てですので,議論しても仕方のない内容ではあります。

そう考えると

勝負は時の運

とはまさに,よく言ったものだと思います。

実力が五分五分のチームが,50回試合をしたら?

もう少し深く検討するために,さらに試合数を増やして考えてみましょう。
巨人と阪神が,50回試合を行います。

巨人と阪神の実力が五分五分である,という前提に立った時,巨人の勝利数の確率は,以下のようになります。

$$(\text{50戦 k勝の確率} )=\frac{{}_{50} C_{k}}{2^{50}}$$

※ 50 戦中どの試合で勝つか,という選び方の組み合わせの数が 50Ck

そしてこの確率分布をまとめたものが下図(▼)です。

50binomial

先ほどの例で,15回試合を行った場合よりも,さらになだらかなカーブとなっています。

この分布は 二項分布 と呼ばれるものなのですが,試行回数を増やせば増やすほど 正規分布 へと近似されていくことが知られています。

どこからが「有意」な勝利差か?

この時,どちらがたくさん勝つかはさておき

戦績の確率

  • 「17 勝 33 敗」の確率:3.20% (1.60 % × 2)
  • 「18 勝 32 敗」の確率:6.48% (3.24 % × 2)
50binomial 2

と計算できます。

これを有意水準 5 %に照らして考えてみると,以下の様になります。

本当に実力が五分五分なら,どちらかのチームが 50戦中 33勝以上することは 3.2%しかない。これは 5% 以下という非常に小さい確率だから,前提条件がおかしいんだ!実力は五分五分ではない!

でも 32勝までなら,実力が五分五分でも起きうる現象だ!(=6.4%)

要するに,50戦 32勝まではありうるのに,33勝以上はあり得ないとみなすわけです。

これが『有意水準 5 %で線引きをする』ということです。

この感覚は,いかがでしょうか。私たちの感覚に合った判断基準でしょうか?

両側検定と片側検定

両側検定とは?

なお,これまでの例を見てきて,阪神・巨人の話にしろ,コイントスの話にしろ,

5%水準と言っておきながら,実質的には確率分布の片側 2.5 %のすそ野で判定している

ということにお気づきになったかもしれません。

こうした検定の手法を 両側検定 two-sided test (two-tailed test) と呼びます。

これは巨人の方が強い場合と阪神の方が強い場合,いずれのパターンも考えながら仮説検証を行っている,ということです。

どちらが強くても構わないので,とにかく 2つのチームの実力に「差がある」ということを主張するための検定になっています。

コイントスの場合は,コインのオモテが続く場合とウラが続く場合,いずれの可能性も検討して検証を行なっている,ということです。

このとき「実力に差がない」という帰無仮説を棄却できるかどうか,有意かどうかの判定は,帰無分布の「両すそ野」の和で考えることになるのです(▼)。

50binomial 2side

▲ 片側 2.5 % ずつの領域に入らなければ,確率 p<0.05 とならない。

片側検定

別の考え方として,仮説に一定の方向性をつけたものを片側検定 one-sided test (one-tailed test)と呼びます。

今回の例で言えば,「巨人の強さ<阪神の強さ」というケースのみを考え,逆のパターンは考えないということです(▼)。

50binomial 1side

▲ 片側が 5.0 % 未満であればよい(両側検定より閾値がユルくなる)

片側検定・両側検定:どちらが妥当か?

なぜこの2つの検定方法の違いが重要かというと,同じ有意水準 5% だとしても,両側検定と片側検定では,仮説の棄却域が変わってくるからです。

両側検定だと,確率分布の片側のすそ野が 2.5 % 以下でないといけないのに対し,片側検定だと確率分布の片側のすそ野が 5%まで許されてしまうのです。

つまり片側検定の方が,有意水準が実質的にユルくなってしまうのです。

ユルくて有意になりやすいなら良いじゃん!という風に思われるかもしれませんが,有意水準が 2倍 ユルいということは αエラーを 2倍許容することになってしまうので,好ましいものではありません。

また,そもそも一般に統計の世界では「どちらかが絶対に優れている!」というような決めつけのもとで仮説検定を行うことは滅多にありません。

検定を行うまでは,「新薬の方が害を増やした!なんてこった!これは失敗治験だ!」なんてこともないとは言い切れません。

ですから,原則的には両側検定を行うべきとされています。

不自然に片側検定をおこなっている論文を見かけたりした場合,どのような科学的妥当性があってそのような検定を行なっているのか,読者は疑ってかかる必要があります。

例外は医学系研究における「非劣性試験」で,新薬が従来薬と比べて少なくとも劣っていないことを示せればOK,という消極的かつユルい基準の試験です。実際には非常に多く行われている研究デザインですが,解釈には注意を要します。

まとめ

Take home message

有意水準 5%で線引きをすると:

  1. 公平なコイントスなら,5 回連続同じ面はありうるが,6 回連続は無い
  2. 実力が同じなら,11 勝 4敗まではありうるが,12 勝 3 敗からは無い
  3. 実力が同じなら,32 勝 18 敗まではありうるが,33 勝 17 敗からは無い

このまとめで,5%での線引きが結構「微妙な」線引きであることを,具体的にイメージいただけるのではないかと思います。

今回の記事では帰無仮説に沿った確率分布が二項分布になる場合しか扱っていませんが,他の確率分布で検討するときも,基本的には同じ考え方となります。

【統計的に有意】あるいは【統計的に有意ではない】という言葉を耳にした時

そのラインでバツンと線引きしちゃって本当にいいの?

ということを,情報の受け取り手はよく考えた方が良いかもしれません。

結局,きちんと元データ・元文献を読みましょう,ということですね。

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