【解説】尤度比とは何か？｜計算方法と使い方

この記事では，尤度比（ゆうどひ）とは何か？医療現場ではどのように使われるのか？という点についてまとめます。

｜内科系試験でありがちな問題

背中の痛みを訴えて外来を受診した人がいた。その病歴と身体診察から，医師は「診断が尿路結石である確率」を 50 % 程度と見積もった。 その後，尿検査をおこなったところ，尿中赤血球を認めた。 この所見は「尿路結石症の診断」に対し 感度 80 ％，特異度 96 ％ である。これにより「診断が尿路結石症である確率」はいくつになったか？
【解答：記事後半】

尤度比とは何か？

尤度比ゆうどひ（LR：Likelihood Ratio）とは，その名の通り〈尤度〉の〈比〉です。

まずはこの〈尤度〉とは何かについて考えてみます。

そもそも尤度とは

尤度とは，こと診断学においては，感度・特異度のことを指します。

また尤度は，教科書的には

と説明されます。いわゆる〈条件付き確率〉です。

数式補足

ある前提条件 B = b が確定している場合に， A が起きる確率（条件付き確率）を $$ P\left( A|B=b\right) $$ と表記します。
このとき，たとえば〈感度〉は「診断がbと確定しているとき，検査Aが陽性である確率」であり，以下のような数式で表現できます。
$$ P\left( \text{検査陽性} |\text{診断=b} \right) $$

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尤度比とは

診断学における〈尤度〉が感度・特異度を指すことから，〈尤度比〉はそのまま，感度や特異度の〈比〉を指す言葉です。

この点について，もう少し詳しくみていきましょう。

陽性尤度比

陽性尤度比とは「検査陽性となる尤度」の比です。すなわち「真に病気の人が検査陽性（真陽性）である尤度」（＝感度）と，「病気でない人が検査陽性（偽陽性）である尤度」（＝1-特異度）の〈比〉を指します。

もう少しわかりやすく砕いて言うと，

です。

2×2 表における陽性尤度比

この表において，陽性尤度比（LR+）は

と示すことができます。

陽性尤度比の解釈

ただ，実際に〈陽性尤度比〉という概念を解釈する際には

という式の方が重要です。

これは，先程の式から変形することで得られる形です。

式変形

$$ \begin{aligned}\text{陽性尤度比} &=\frac{\text{感度} }{1-\text{特異度} } \\ &=\frac{a}{a+c} \div \frac{b}{b+d} \\ &=\frac{a}{b} \div \frac{a+c}{b+d} \\ &=\frac{\text{検査陽性者における有病オッズ（＝事後オッズ）} }{\text{全体における有病オッズ（＝事前オッズ）} } \end{aligned} $$

この式から，検査をする前の「有病の見込み」である「事前オッズ」が，検査が陽性であることによってさらに高まる ── その「高まり具合」が〈陽性尤度比〉であると解釈できます（詳細後述）。

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陽性尤度比のとりうる値

〈陽性尤度比〉は，分母に（1-特異度）があることからわかるように，特異度が高ければ高いほど（＝1に近づけば近づくほど），∞ に近づいていくことになります。

値としては，〈比〉なので，上限がありません。0 〜 ∞ までの値を取り得ます。

そして一般に〈陽性尤度比〉は1 より大きくなります。そして，無限大に大きくなればなるほど，検査陽性のとき疾患をより強く肯定できる（＝事後オッズを事前オッズからより大きく引き上げる）ことになります。

逆に，1 に近ければ近いほど，その検査結果によって「事前の有病オッズ」から「事後の有病オッズ」が変化しません。そのため臨床的意義の乏しい検査になります。

SpP-INの解釈

なお「特異度（Sp）が高い検査で陽性（P）になると診断確定（rule-in）に適する（SpP-In）」というよく知られた法則は，以下の様に解釈できます。

「特異度 Sp が高い → （1-特異度）が0に近い → 陽性尤度比が大きい → 検査陽性（P）のとき検査後オッズを大きく高める（≒検査後確率を大きく高める）」

陽性尤度比に対しては，感度よりも特異度の影響が大きいことはグラフからも理解できます（特に特異度 95 % 以上のとき）

陰性尤度比

続いて〈陰性尤度比〉についても考えてみましょう。理屈は〈陽性尤度比〉とほとんど一緒です。

陰性尤度比とは「検査が陰性となる尤度」の比です。すなわち「真に病気の人が検査陰性（偽陰性）である尤度」（＝1-感度）と，「病気でない人が検査陰性（真陰性）である尤度」（＝特異度）の〈比〉を指します。

もう少しわかりやすく言い直すと，

です。

2×2 表における陰性尤度比

この表において，陰性尤度比（LR-）は

と示すことができます。

陰性尤度比の解釈

ただ，やはり実際に〈陰性尤度比〉という概念を解釈する際には

という式の方が重要です。

これは，先程の式から変形することで得られる形です。

式変形

$$\begin{aligned}\text{陰性尤度比} &=\frac{1-\text{感度} }{\text{特異度} } \\ &=\frac{c}{a+c} \div \frac{d}{b+d} \\ &=\frac{c}{d} \div \frac{a+c}{b+d} \\ &=\frac{\text{検査陰性者における有病オッズ（＝事後オッズ）} }{\text{全体における有病オッズ（＝事前オッズ）} } \end{aligned} $$

この式から，検査をする前の「有病の見込み」である「事前オッズ」が，検査が陰性、、であることによってさらに低くなる、、、、 ── その「低くなり具合」が〈陰性尤度比〉であると解釈できます。

陰性尤度比のとりうる値

〈陰性尤度比〉は，分子に（1-感度）があることからわかりますように，感度が高ければ高いほど（＝1に近づけば近づくほど），0 に近づいていくことになります。

一般的に〈陰性尤度比〉は 1 より小さい値を取ります。そして，0 に近ければ近いほど，検査陰性のとき疾患をより強く否定できる（事後オッズを事前オッズからより大きく引き下げる）ことになります。

逆に，1 に近ければ近いほど，その検査結果によって「事前の見込み」から見積もりが変化しないので，臨床的意義の乏しい検査になるといえます。

SnN-Outの解釈

なお「感度 Sn が高い検査で陰性（N）になれば診断除外（rule-out）に適する（SnN-Out）」というよく知られた法則は，以下の様に解釈できます。

「感度 Sn が高い → 1-感度が0に近い → 陰性尤度比が0に近い → 検査陰性（N）のとき検査後オッズを大きく下げる（≒検査後確率を大きく下げる）」

陰性尤度比に対しては，特異度よりも感度の影響が大きいことはグラフからも理解できます（特に感度 95 % 以上のとき）

医師はいつも計算している

〈尤度比〉の定義の説明としては以上になりますが，ではこの〈尤度比〉なる概念は，現場ではどのように用いられるのでしょうか。

臨床現場の診断プロセスにおいては重要なことが２つあります。

それは「事前のらしさ、、、の見積もり」と，「検査前後でどの程度らしさ、、、が変動していくか」という考え方です。

そしてこの「検査前後でどの程度らしさ、、、が変動するか」という概念が，まさにこれまで見てきた〈尤度比〉であると言えます。

医師は意識的にしろ無意識的にしろ，診断プロセスにおいて常に頭の中でこうした計算をおこなっています。

具体的にイメージしていただくため，外来に腹痛を訴えて女性が受診してきたときのケースを考えてみましょう。

診察前確率

まず，患者さんを部屋に入れる前から既にわかっていることがあります。

それは，患者さんの「年齢」「性別」「主訴」「来院手段」「来院した時間帯」です。

夜のウチの ERに，この年齢くらいの女性で「腹痛」を訴えてくる人は・・40％くらいは胃腸炎で，20％くらいは便秘で，5％ずつくらい虫垂炎，胆嚢炎／胆嚢結石，尿管結石，胃・十二指腸潰瘍 だよなぁ🤔

などと，医師は患者さんが入室する前から既にある程度の見積もりを立てています。

これが〈診察前、、、確率〉です。

補足｜施設ごとに異なる診察前確率

〈診察前確率〉は，つまるところその医療機関ごとの受診者の有病割合です。当然ながら，三次救急病院に腹痛で受診する患者さんと，地域のクリニックに腹痛で受診する患者さんは疾患の構成割合が大きく異なります。そのため，診察前確率も施設ごとで大きく異なります。

問診後確率

そこで実際に患者さんを見て，問診を始めます。

すると，問診の中で「急激に発症」「こんなに痛いのは初めて」「吐き気もある」「右側が痛い」「少し熱っぽい」といった追加情報が得られます。

こうした病歴を踏まえて，また確率が変動します。

うーん，この病歴，さすがに便秘や胃腸炎ってことはなさそうだな。胆嚢が 30 %，尿路系が 20 %，虫垂炎 10 %くらいかな。あとは一応，潰瘍穿孔や卵巣出血の可能性も頭の片隅においておかないとなあ🤔

などと，鑑別疾患の順位が大きく様変わりしています。

これが〈問診後、、、確率〉であり〈身体診察前、、、、、確率〉です。

身体診察後確率

さらなる調査のため，医師は続いて，身体所見を取っていきます。

腹部を触診してみると，明らかに右上腹部〜季肋部に圧痛・反跳痛がありました。そして右上腹部を押さえながら深呼吸してもらうと，息を吸うときに痛みが増悪するようでした。腰背部の叩打痛はないようでした。

これで，医師の脳内でまた「確率」が入れ替わります。

これは胆嚢ですわ。もう。80％くらい。✋☺️

これが〈身体診察後、、、、、確率〉であり〈検査前、、、確率〉です。

もちろんこの時点では，残りの 20-30 ％，他疾患を除外しきれたわけではありません。しかし医師の中で概ね結論は出かかっています。

その上で「疾患特異的な検査」をオーダーし，診断確定を目指します。

検査後確率

採血で炎症反応が上昇しており，腹部超音波で胆嚢壁肥厚や結石を認めれば，「胆嚢炎である検査後確率」は 9 割以上，ほぼ確定的でしょう。

他に代替診断がないのであれば，胆嚢炎として治療を開始することになります。

確率計算と尤度比

このように医師はひとつの検査を行うまでの間，意識的にあるいは無意識的に，頭の中で何度も確率計算を繰り返しています。

そうした〈見積もり〉を適切に変動させる問診や身体診察こそ「よい問診」「よい身体診察」であり，そうした手段を上手に選んで短い時間で多数の患者さんを適切なふるい、、、にかけていくことが，臨床の極意であると言えます。

経験を十分積んだ医師には，パターン認識としてそうした確率計算が染み付いています。そしてほとんど自動的に適切な問診・身体所見・行うべき検査を選択できるようになります。

その際，医師が考えるのは，それぞれの問診・身体診察・検査プロセスの前後で「どの程度確率が高まったか」「どの程度確率が低くなったか」ということです。

そしてこの「どの程度らしさ、、、が変動したか」ということを数字で表してくれるのが〈尤度比〉という概念です。

事前確率と事後確率の比ではないため注意

ただ，一つ厄介なことがあります。

それは，尤度比は「事前・事後確率の比」ではなくあくまで「事前・事後オッズの比」だということです。

ここが直感的解釈を難しくしてしまう難点です。

陽性尤度比 20！といっても，検査後確率（事後リスク）が検査前確率（事前リスク）と比べて 20 倍になるわけではありません。

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その違いを呈示するため，前回記事でも扱った例をみて，尤度比計算をしてみたいと思います。

実例で尤度比を計算してみる

陽性尤度比を用いた解答

この問題について〈陽性尤度比〉の概念を使って解いてみましょう。

使うのは，以下の２つの定義式です。

ここで，検査前リスク（確率）が 50％ ということは，

であると算出できます。

あとは定義式を用いて，以下のように計算が可能です。

検査後オッズ ＝ 20 と算出できたので，あとはこれを検査後確率に戻すだけです。

なので，ここに検査後オッズ = 20 を代入すれば，ｐ＝20/21＝0.95 と算出できます。

以上から，検査後確率は 95 % です。

尿中赤血球陽性という検査結果によって，検査前確率50％から，検査後確率 95 ％へと上昇したのでした。

｜別解

なおこの問題は，尤度比の概念を理解していなくても解答可能です。その別解については以前の記事を参照ください。

表を使ってわかりやすく

以上の内容（事前確率 50 ％，感度 80 %，特異度 96 ％，陽性尤度比 20，陰性尤度比 0.21）を表にまとめると，以下のようになります。

オッズをベースに考える

リスク（確率）をベースに考える

このくらいが検査のやりどころ

なお余談ですが，このように事前リスクが 50 % くらいの「臨床医が判断に迷う」領域でこそ，検査は最大の効果を発揮します。

事前リスクがもともと 5 ％未満なら，そのまま検査をせずに帰宅していただき経過観察するのが妥当ですし，事前リスクがすでに 95 %以上なら，検査すら不要で治療を検討する場合もあるかもしれません。

その辺りの選択は各種疾患の重篤度や検査の閾値次第です（▼）。

Fagan ノモグラム

さて，ここまで見てきましたように〈尤度比〉は「事前・事後確率の比」ではなく「事前・事後オッズの比」であるわけですが，実際問題，ここが大きな難点となっています。

直感的に理解しやすい「確率」に読み換える時には，以下のような変換が必要だからです（▼）。

……見るからに煩雑ですね。手計算にも限界がありそうです。

これが〈尤度比〉という概念があまり普及しない最たる原因なのではないかと思いますが，一応，便利なツールが提唱されています。

それが，Fagan’s Nomogram（Fagan 先生のノモグラム）です。

これは，事前確率の見込みから尤度比に向かって線を引くとその直線上に事後確率がある，という素晴らしいツールです。

ざっくり〈尤度比〉の感覚を視覚化してくれます。

事前確率 50 % で，尤度比１なら，事後確率も 50 %．尤度比が１に近ければ近いほど無意味な検査であることが直感的に理解できます．
※ 画像はフリーソフトの「R」で出力しています（方法は別頁）

陽性尤度比 20 のノモグラム

先程の尿路結石の例で，尿 RBC 検査結果が陽性だった場合をFagan 先生のモノグラムにまとめたものが，以下になります（▼）。

｜事前確率 50 ％ 陽性尤度比 20

陰性尤度比 0.21 のノモグラム

また，先程の尿路結石の例で，尿 RBC 検査結果が陰性だった場合を Fagan 先生のモノグラムにまとめたものが，以下になります（▼）。

｜事前確率 50 ％ 陰性尤度比 0.21

検査のやりどころに限定すると？

臨床医が検査を行うのは，その前後で臨床的決断が変わるタイミングです。

逆に，臨床的決断が変わらない場合（そもそも事前確率が 5 ％未満や 95 ％以上などほとんど結論が出ている場合），無意味な検査はおこないません。

その検査閾値に着目して Fagan’s nomogram を見ると，以下のようになります（▼）。

もちろん，上記の閾値は疾患によって異なります。絶対にあってはならない重篤な疾患などは，事前確率が 10 % だとしてもまだ否定のための（感度が高く陰性尤度比が低い）検査を重ねることがあり得ます。

よい検査適応の例

• 事前確率 60 %程度 → 陽性尤度比 5 → 事後確率 90 %
• 事前確率 40% 程度 → 陰性尤度比 0.2 → 事後確率 10%

余談：原著は Letter

なお，Fagan 先生のノモグラムは，いまやどんな診断学の本でも引用される非常に有名なツールですが，なんと原著は Letterです（NEJMですが）。

Letter でも価値ある論文は後世に名を残す，という好例ですね。

「R」で Fagan ノモグラムを出力

ちなみに上のようなノモグラムは，フリーソフトの「R」でメチャクチャ簡単に出力できるので，是非みなさんも色々数字を変えて遊んでみてください。

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【統計ソフトR】で尤度比のノモグラム（Fagan）を画像出力する方法

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今回は以上です！

まとめ

事前確率，検査閾値，尤度比 ── こうした確率推論的なアプローチは診断学の地盤となる極めて重要な考え方です。

なかなか掴みにくい概念ということもあり，十分に普及していないようにも感じますが，この記事が概要理解の一助になりましたら幸いです。